Kegiatan1.3
Sumber: Kemdikbud
Gambar 1.16 Resep dokter
a. Perkalian Bilangan Bulat
Apakah ada hubungan antara operasi perkalian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat? Mari kita temukan konsep perkalian dengan memahami permasalahan nyata berikut. Pernahkah kalian melihat resep dokter seperti pada Gambar 1.16. Resep dokter tersebut bermakna bahwa pasien tersebut sebaiknya meminum obat 3 kali dalam1 hari. Dengan kata lain 3 × 1 = 1 + 1 + 1.
Contoh 1.7
Suatu gedung tersusun atas 5 lantai. Jika tinggi satu lantai gedung adalah 6 meter, tentukan tinggi gedung tersebut (tanpa atap).
Alternatif Penyelesaian
Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian 5 × 6 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
Jadi tinggi gedung tersebut adalah 30 meter. Perhatikan ilustrasi penjumlahan tersebut dalam garis bilangan pada Gambar 1.18
Gambar 1.18 Perkalian 5 × 6
Contoh 1.8
Endang adalah anak yang rajin menabung. Tiap akhir bulan dia selalu menabung Rp500.000,00. Jika Endang menabung selama 7 bulan secara berturut-turut, tentukan banyak tabungan Endang dalam 7 bulan tersebut. (potongan dan bungan bank diabaikan)
Alternatif Penyelesaian
Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian 7 × 500.000 = 500.000 + 500.000 + 500.000 + 500.000 + 500.000 + 500.000 + 500.000 = 3.500.000
Gambar 1.20 Perkalian 7 × 500.000
Perkalian tersebut dapat disajikan dalam garis bilangan pada Gambar 1.20 Dengan memperhatikan Gambar 1.20, dapat kita simpulkan bahwa banyak tabungan Endang dalam 7 bulan adalah Rp3.500.000,00.
Contoh 1.9
Ketika memasuki musim dingin, suhu di negara Eropa sering kali turun drastis. Setiap 1 jam suhu turun sebesar 2°C. Jika pada pukul 18.00 suhu di sana adalah 10°C, tentukan suhunya ketika pukul 24.00 waktu setempat.
AlternatifPenyelesaian
Dari pukul 18.00 hingga pukul 24.00 berarti sudah berlangsung 6 jam. Karena setiap 1 jam suhunya turun 2°C, maka turunnya suhu selama 6 jam tersebut dapat disajikan dalam bentuk perkalian
6 × (−2) = (−2) + (−2) + (−2) + (−2) + (−2) + (−2) = −12. Perkalian tersebut dapat dilustrasikan garis bilangan pada Gambar 1.22.
Gambar 1.22
Selama 6 jam suhu di Eropa turun 12°C atau dapat ditulis −12°C. Jadi suhu di Eropa ketika pukul 24.00 (waktu setempat) adalah 10 + (−12) = −2°C. Secara umum, jika a bilangan bulat positif, dan b bilangan bulat, maka
Pada operasi perkalian juga berlaku sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan, c berlaku
1. Komutatif
a × b = b × a
2. Asosaiatif
(a × b) × c = a × ( b × c)
3. Distributif
Perkalian terhadap penjumlahan
a × (b + c) = a × b + a × c
Perkalian terhadap pengurangan
a × (b − c) = a × b − a × c
Untuk memahami sifat komutatif, dan asosiatif, mari lakukan pengecekan dengan melengkapi Tabel 1.3 berikut.
Tabel 1.3 Pengecekan sifat komutatif dan asosiatif pada perkalian
Amati hasil di kolom 5, 6, 7, dan 9. Kalian bisa mencoba untuk sebarang bilangan bulat yang lain. Untuk memahami sifat komutatif, dan asosiatif, mari lakukan pengecekan dengan melengkapi Tabel 1.4 berikut.
Tabel 1.4 Pengecekan sifat distributif pada perkalian terhadap penjumlahan
Amati hasil di kolom 6 dan 9. Kalian bisa mencoba untuk sebarang bilangan bulat yang lain.
Tabel 1.5 Pengecekkan sifat distributif pada perkalian terhadap penjumlahan
Amati hasil di kolom 6 dan 9. Kalian bisa mencoba untuk sebarang bilangan bulat yang lain.
Masalah 1.5
Untuk menyembuhkan suatu penyakit kronis, seorang pasien mengikuti program pengobatan seorang dokter. Dokter tersebut menuliskan resep sebagai berikut.
♦ Obat A diminum 3 kali sehari pada waktu pagi siang dan malam setelah makan. Setiap setelah meminum obat selama 3 hari berturut-turut, pasien harus beristirahat dan tidak meminum obat A selama 1 hari. Kemudian melanjutkan meminum kembali dengan pola yang sama.
♦ Obat B diminum 2 kali sehari pada waktu pagi hari dan malam setelah makan
♦ Obat C diminum 1 kali sehari pada waktu siang hari setelah makan
Jika mengikuti resep dokter, pasien tersebut diperkirakan akan sembuh ketika sudah menghabiskan 100 obat B (obat A dan obat C dikonsumsi seperti pada resep) . Harga obat
A = Rp50.000,00 perbutir, obat B = Rp100.000,00 perbutir, dan obat C = Rp200.000,00.
perbutir. Berdasarkan resep dokter tentukan.
a. Setelah berapa hari pasien tersebut diperkirakan sembuh?
b. Berapa banyak obat A, dan C yang harus diminum pasien tersebut?
c. Berapakah biaya si pasien untuk membeli obat yang diresepkan oleh dokter?
Ikuti langkah-langkah berikut untuk memecahkan Masalah 1.5
1. Perhatikan bahwa setiap hari pasien tersebut harus meminum 2 obat B. Pasien tersebut diperkirakan akan sembuh ketika sudah meminum sebanyak 100 obat B, sehingga untuk menentukan lama hari hingga pasien tersebut sembuh, kalian harus menentukan bilangan yang dikalikan 2 sama dengan 100.
2. Untuk menentukan banyak obat A dan C yang dikonsumsi si pasien hingga sembuh, kalian bisa mengalikan banyak obat yang dikonsumsi setiap hari dengan lama hari hingga pasien tersebut sembuh. Perhatikan bahwa obat A mempunyai siklus istirahat setiap 3 hari, sehingga kalian harus mengurangi banyak hari si pasien tersebut selama proses penyembuhan.
3. Untuk menentukan biaya total yang harus dikeluarkan pasien hingga sembuh adalah dengan mengalikan harga masing-masing obat dengan banyak obat yang dikonsumsi, kemudian menjumlahkan semua.
Ayo Kita Amati
Perhatikan perkalian antara dua bilangan bulat tak nol (bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif) pada Tabel 1.6 berikut.
Tabel 1.6 Perkalian dua billangan bulat tak nol
Keterangan:
Positif (+) : Sebarang bilangan bulat positif
Negatif (−) : Sebarang bilangan bulat negatif
Untuk mengecek kebenaran jawaban kalian, lengkapi tabel-tabel perkalian berikut dengan mengamati pola hasil kalinya.
Tabel 1.7 Pengecekan hasil perkalian bilangan positif dengan negatif
Tabel 1.8 Pengecekan hasil perkalian bilangan negatif dengan positif
Tabel 1.9 Pengecekan hasil perkalian bilangan negatif dengan negatif
Cara yang sering digunakan untuk mengalikan dua bilangan yang terdiri lebih dari atau sama dengan dua angka adalah dengan perkalian bersusun. Perhatikan
Contoh 1.10
Tentukan hasil dari 147 × 23
Penyelesaian
Pada tahun 1500 Masehi, di Italia ditemukan metode mengalikan dua bilangan bulat dengan nama metode lattice.
Berikut penerapan metode Lattice tersebut.
Keterangan:
• Bilangan yang dikalikan ditulis di sebelah kanan dan atas dengan susunan seperti di atas.
• Hasil perkalian masing-masing angka pada bilangan tersebut dituliskan secara terpisah (dipisahkan oleh diagonal).
• Bilangan-bilangan yang tersusun secara diagonal dijumlahkan. Jika hasilnya dua angka, maka angka dengan nilai puluhan ditambahkan ke diagonal di kirinya.
Ayo Kita Menanya
Buatlah pertanyaan berdasarkan informasi yang kalian dapatkan tentang perkalian dan pembagian bilangan bulat. Pertanyaan kalian sebaiknya memuat kata “perkalian dan pembagian bilangan bulat”.
Contoh:
Bagaimanakah penerapan perkalian dan pembagian bilangan bulat dalam kehiupan sehari-hari?
Ayo Kita Menggali Informasi
b. Faktor Bilangan Bulat
Diketahui a dan b adalah bilangan bulat. a disebut faktor dari b jika ada n sedemikian sehingga b = a × n, dengan n adalah bilangan bulat.
Contoh 1.11
Tentukan semua faktor positif dari 6. Jelaskan.
Penyelesaian
Alternatif
2 adalah faktor dari 6, karena ada 3 sedemikian sehingga 6 = 2 × 3
3 adalah faktor dari 6, karena ada 2 sedemikian sehingga 6 = 3 × 2
1 dan 6 juga faktor dari 6 (mengapa?)
Jadi faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6.
c. Bentuk pangkat bilangan bulat
Untuk menyederhanakan penulisan, a × a × a × ... × a sebanyak n kali, ditulis an dibaca a pangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif.
a disebut basis, sedangkan n disebut pangkat
Contoh 1.12
104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000
53 = 5 × 5 × 5 = 125
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
d. Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang hanya memiliki dua faktor, yaitu
1 dan bilangan itu sendiri. Misal p adalah bilangan prima maka faktor dari p hanya
1 dan p.
Dengan melakukan percobaan berikut, mari menemukan bilangan prima antara 1
sampai 100. Ikuti langkah berikut.
1. Coretlah bilangan 1
2. Coretlah bilangan kelipatan 2 kecuali 2
3. Coretlah bilangan kelipatan 3 kecuali 3
4. Coretlah bilangan kelipatan 5 kecuali 5
5. Coretlah bilangan kelipatan 7 kecuali 7
Dengan mengikuti langkah di atas didapatkan bilangan-bilangan yang tidak tercoret itulah bilangan prima antara 1 sampai 100. Daftarlah semua bilangan prima yang kalian dapatkan!
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...
Keterangan:
Bilangan bulat positif selain 1 dan prima disebut dengan bilangan komposit.
Diskusikan.
Mengapa 1 bukan bilangan prima?
e. Pembagian bilangan bulat
Pada bilangan bulat positif, jika a × b = n, dengan a, b, n bilangan bulat positif maka n dapat dinyatakan sebagai pengurangan berulang
Contoh 1.13
Karena sedang baik hati bu Futri ingin membagi-bagikan kue kepada tetangganya. Kue yang dimiliki Bu Futri adalah 20 kue, sedangkan tetangga yang akan dibei kue tersebut ada 10 tetangga. Jika Bu Futri ingin membagi rata semua kue tersebut, maka masing-masing tetangga mendapatkan berapa kue?
Alternatif
20 dibagi 10 dapat diartikan pengurangan 20 oleh 10 secara berulang hingga habis. Dapat ditulis 20 – 10 – 10 = 0. 20 dikurangi 10 secara berulang hingga 2 kali hingga habis, dengan kata lain hasil dari 20 dibagi 10 adalah 2, ditulis
20
10
= 2.
Jadi masing-masing tetangga Bu Futri mendapatkan 2 kue.
Pada pembagian di atas 20 adalah bilangan yang dibagi, 10 adalah pembagi, sedangkan 2 adalah hasil bagi. Misalkan a dan b bilangan bulat, a ÷ b = a ×1/b, b ≠ 0
Contoh 1.14
Seekor Tupai mula-mula berdiri di titik 0, Tupai itu dapat melompat ke kiri atau ke kanan. Sekali melompat jauhnya 3 satuan. Tupai telah melompat ke kiri dan berada di titik 15 sebelah kiri nol. Berapa kali Tupai telah melompat?
Alternatif
Tupai melompat ke arah kiri (ke arah kiri titik nol artinya daerah bilangan negatif). Gerakan Tupai dapat digambarkan pada garis bilangan berikut ini.
Gambar 1.27 Ilustrasi tupai melompat
Jarak yang ditempuh tupai untuk satu kali melompat adalah 3 satuan.
Untuk menempuh titik –15 (–15 artinya titik 15 di sebelah kiri nol), tupai harus melompat sebanyak 5 kali (ke kiri). Misal banyak lompatan kangguru adalah t.
t = –15 ÷ 3 = –5 atau t = –15 ×
1
3
maka t = –5.
(lihat garis bilangan di atas, –5 adalah banyak anak panah 3 satuan arah ke kiri).
Jadi tupai telah melompat sebanyak 5 kali. Secara umum jika a, b, dan c adalah bilangan bulat.
Jika a × b = c maka
b
a = c , dengan b ≠ 0 atau Jika a × b = c maka
a
b = c , dengan
a ≠ 0
f. Bilangan habis dibagi 12 ÷ 3 = 4
Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut:
a. 12 adalah bilangan yang dibagi
b. 3 adalah bilangan pembagi
c. 4 adalah bilangan hasil bagi
d. 3 habis membagi 12
e. 12 habis dibagi 3
20 ÷ 2 = 10
Dari pembagian bilangan bulat ini kita dapat menyebut:
a. 20 adalah bilangan yang dibagi
b. 2 adalah bilangan pembagi
c. 10 adalah bilangan hasil bagi
d. 2 habis membagi 20
e. 20 habis dibagi 2
Misalkan a dan b bilangan bulat. Bilangan a dikatakan habis dibagi b dengan b ≠ 0 jika ada bilangan bulat k sehingga berlaku a = k × b atau a merupakan kelipatan dari b.
Diskusikan.
Apakah 2 habis membagi bilangan ganjil?
0 Response to "Mengalikan dan Membagi Bilangan Bulat"
Post a Comment