Berikut disajikan beberapa masalah dan contoh terkait penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Diskusikan pemecahan masalah berikut bersama teman kalian. Jika memungkinkan temukan pemecahannya
Masalah 1.3
Dengan mengamati pola penjumlahan bilangan bulat berikut, tentukan hasil dari
125 + (-225) + 325 + (-425) + 525 + (-625) + 725 + (-825) + ... + 1.925 + (-2.025)
Masalah 1.4
Sumber: Kemdikbud
Gambar 1.3 Katak di dalam sumur
Seekor katak terjebak di dasar sumur dengan kedalaman 20 meter. Katak tersebut berusaha keluar dari umur tersebut dengan cara merayap di dinding sumur. Satu jam pertama katak naik 3 meter. Satu jam berikutnya turun 2 meter. Satu jam lagi naik naik 3 meter, kemudian turun 2 meter. Begitu seterusnya hingga si katak mencapai bibir sumur. Tentukan pada jam ke berapakah, katak tepat berada di bibir umur. Apakah kalian bisa memecahkan masalah tersebut. Jika belum bisa mari ikuti kegiatan berikut. Jika sudah bisa pun masih banyak informasi yang bisa kalian dapat dari kegiatan berikut.
Ayo Kita Amati
Contoh 1.2
Mia mempunya 3 boneka di rumahnya. Saat ulang tahun, Mia mendapatkan hadiah dari teman-temannya 4 boneka lagi. Berapakah boneka yang dimiliki Mia sekarang?
Alternatif Penyelesaian
Secara matematis soal tersebut dapat dinyatakan dengan 3 + 4 = ...
Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
Gambar 1.5 Penjumlahan 3 + 4
Karena Mia memiliki 3 boneka, maka dari titik asal (0) bergerak 3 satuan ke kanan. Kemudian, karena mendapatkan 4 boneka lagi, berarti terus bergerak ke kanan 4 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 7. Jadi, boneka yang dimiliki Mia sekarang adalah 7 boneka. Selisih antara dua bilangan bulat sama dengan jarak kedua bilangan tersebut pada garis bilangan. Misalnya,
(1) selisih antara 1 dengan 4 adalah 3 satuan,
(2) selisih antara -2 dengan 3 adalah 5 satuan.
Perhatikan ilustrasi berikut.
Gambar 1.6 Selisih antara dua bilangan bulat
Selisih dari dua bilangan bulat adalah positif. Dari Gambar 1.6 kita bisa melihat bahwa selisih dari dua bilangan bulat (berbeda) a dan b, dengan a < b, adalah b – a. Di sekolah dasar, kalian sudah mengenal operasi sederhana beberapa bilangan bulat. Berikut diurakan kembali tentang yang sudah kalian pelajari di sekolah dasar dulu, diperdalam dengan pemahaman terhadap berbagai kondisi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat.
Contoh 1.3
Sumber: Kemdikbud
Gambar 1.7 Sepatu
Nia mempunyai 6 pasang sepatu di rumahnya. Nia memberikan 2 pasang sepatu kepada
sepupunya. Berapakah pasang sepatu yang dimiliki Nia sekarang?
Penyelesaian Alternatif
Secara matematis soal tersebut dapat dinyatakan dengan 6 – 2 = ...
Dalam garis bilangan dapat dituliskan sebagai berikut.
Gambar 1.8 Pengurangan 6 – 2 pada garis bilangan
Awalnya Nia memiliki 6 pasang sepatu, maka bergerak dari titik nol ke kanan 6 satuan. Karena dikurang 2, berarti panah berbalik arah ke kiri 2 satuan. Sehingga hasil akhirnya adalah 4.
Contoh 1.4
Seorang penyelam amatir mula-mula berlatih menyelam di kedalaman 2 meter di bawah permukaan laut. Setelah merasa lancar menyelam di kedalaman 2 meter, kemudian ia turun lagi hingga kedalaman
5 meter di bawah permukaan laut. Berapakah selisih kedalaman pada dua kondisi tersebut?
Sumber: Kemdikbud
Gambar 1.9 Penyelam
Alternatif Penyelesaian
−5 mewakili posisi 5 meter di bawah permukaan laut. Sedangkan −2 mewakili posisi 2 meter di bawah air laut. Bilangan −2 lebih besar dari pada −5 (mengapa?) Bentuk soal tersebut bisa kita tulis (−2) − (−5) = ...
Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut.
Gambar 1.10 Pengurangan –2 – (–5)
Dari Gambar 1.10 diperoleh (−2) − (−5) = 3.
Jadi selisih kedalaman penyelam pada dua kondisi tersebut adalah 3 meter. Hasil dari –2 – (–5) sama dengan hasil dari –2 + 5 yaitu 3. Secara umum, jika a sebarang bilangan bulat, dan b sebarang bilangan bulat positif, maka a – (–b) = a + b.
Contoh 1.5
Alternatif Penyelesaian
Gambar 1.11 Pengurangan 100 – 275
Dari Gambar 1.11 didapatkan 100 – 275 = –175
Untuk mengoperasikan (menjumlahkan atau mengurangkan) bilangan-bilangan yang terdiri dari banyak angka tentunya tidak efektif jika selalu menggunakan garis bilangan. Pada Contoh 1.5, hasil dari 100 – 275 sama dengan lawan (negatif) dari 275 – 100. Perhatikan ilustrasi berikut.
Gambar 1.12 Pengurangan 275 – 100
Berikut ini lawan (negatif) dari 275 – 100
Gambar 1.13 Lawan (negatif) dari 275 – 100
Dari Gambar 1.13 dapat dilihat bahwa lawan (negatif) dari 275 – 100 adalah 175. Jadi
hasil dari 100 – 275 = –175
Untuk selanjutnya untuk menjumlahkan atau mengurangkan tidak harus menggunakan garis bilangan. Kalian bisa menggunakan cara yang kalian peroleh ketika masih di SD untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan bulat.
Contoh 1.6
Tentukan hasil dari 2.014 – 3.210
Alternatif Penyelesaian
Pada soal tersebut, bilangan pengurang lebih besar dari yang dikurangi, sehingga kita bisa menduga bahwa hasilnya adalah negatif (–). Untuk menentukan hasil operasi bilangan tersebut kita bisa membalik bilangan pengurang menjadi bilangan yang dikurangi, dan sebaliknya. Perhatikan pengurangan bersusun berikut.
3 2 1 0
2 0 1 4 –
1 9 6
Lawan dari 196 adalah –196.
Jadi hasil dari 2.014 – 3.210 adalah –196
Masalah 1.5
Tanpa mengoperasikan satu-satu tentukan hasil dari 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50
Alternatif Pemecahan Masalah
Amati bahwa setiap bilangan berikut bisa dijumlahkan sehingga membentuk pasangan-pasangan bilangan yang hasil penjumlahannya 51, seperti pada ilustrasi berikut. Jika lanjutkan terus akan ada sebanyak 25 pasang bilangan yang jumlahnya 51.
Bisa ditulis 25 × 51 = 1.275
Ayo Kita Menanya
Buatlah pertanyaan yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
Contoh:
Bagaimana menjumlahkan bilangan bulat yang terdiri dari banyak angka? Apakah hasil penjumlahan atau pengurangan bilangan bulat selalu bilangan bulat juga?
Ayo Kita Menggali Informasi
Pada penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat
1. Komutatif (pertukaran) Untuk sebarang bilangan bulat a, dan b berlaku a + b = b + a
2. Asosiatif (pengelompokan) Untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a + b) + c = a + (b + c)
Untuk memahami kalimat komutatif dan asosiatif, mari melakukan pengecekan dengan melengkapi Tabel 1.2.
Tabel 1.2 Pengecekan sifat komutatif dan asosiatif pada penjumlahan bilangan bulat
Dengan memperhatikan Tabel 1.2 simpulkan hubungan antara kolom 4 dan 5, serta 6 dan 7. Jika perlu, cobalah untuk sebarang bilangan lain.
Sedikit Informasi
Misal, a dan b bilangan bulat positif, berlaku (–a) + (–b) = –a – b. Untuk memahami sifat tersebut mari perhatikan contoh pada garis bilangan berikut.
Gambar 1.14 Penjumlahan –5 + (–6)
Gambar 1.15 Pengurangan –5 – 6
Ayo Kita Menalar
Pada Masalah 1.2 dan 1.3, tentunya cukup lama untuk menyelesaikan permasalahan tersebut jika kita melakukan operasi satu persatu dari depan. Kalian bisa menerapkan sifat komutatif dan/atau asosiatif pada penjumlahan bilangan berpola tersebut.
1. Tentukan hasil dari 43.210 – 56.789 + 1.232.
2. Tentukan solusi dari Masalah 1.2. Langkah-langkah:
a. Amati pola jumlah masing-masing dua bilangan yang berurutan.
b. Tentukan banyak pola yang teratur, lalu jumlahkan.
3. Tentukan solusi dari Masalah 1.3. Langkah-langkah:
a. Buatlah bentuk matematis dari masalah.
b. Amati pola dari bentuk yang dibuat, lalu selesaikan.
4. Apakah sifat komutatif dan asosiatif berlaku juga untuk operasi pengurangan bilangan bulat. Jika ya, tunjukkan, jika tidak jelaskan dengan contoh penyangkal.
5. Apakah jumlah dua bilangan positif hasilnya selalu positif? Jelaskan.
6. Apakah pengurangan bilangan positif terhadap bilangan positif selalu bilangan positif? Jelaskan.
7. Jika a dan b adalah bilangan negatif, pada kondisi yang bagaimana hasil a − b bernilai positif? Jelaskan.
8. Jika a dan b adalah bilangan negatif, pada kondisi yang bagaimana hasil a – b bernilai positif? Jelaskan.
Ayo Kita Berbagi
Sajikan jawaban kalian di depan kelas. Bandingan dengan jawaban teman kalian
Latihan 1.2
1. Tentukan operasi berikut menggunakan garis bilangan (sketsa saja) dan tentukan hasilnya
a. −35 + 47 + (–119)
b. 132 − 713 + 915
c. 9.000 − 1.400 + 800 − 700
2. Nyatakan operasi yang ditunjukkan pada garis bilangan berikut dan tentukan hasilnya
3. Pak Abdul mempunyai hutang pada Pak Boas sebesar Rp700.000,00. Karena anak Pak Abdul mengalami kecelakaan, Ia terpaksa meminjamuang lagi pada Pak Boas sebesar Rp200.000,00. Gambarkanlah permasalahan ini pada garis bilangan dan tentukan berapa hutang Pak Abdul seluruhnya kepada Pak Boas.
4. Tentukan hasil dari (tanpa menghitung satu persatu)
a. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 99
b. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... − 100
c. −100 − 99 − 98 − … − 2 − 1 − 0 + 1 + 2 + ... + 48 + 49 + 50
5. Edward ingin membuat katrol timba air. Ketinggian katrol di atas permukaan tanah 2 m dan permukaan air 3 m di bawah permukaan tanah. Berapa panjang tali dari permukaan air ke katrol?
6. Dua ekor ikan mas berada di dalam akuarium. Ikan yang besar 15 cm berada di bawah permukaan air dan ikan yang kecil 9 cm berada di bawah permukaan air. Berapa perbedaan jarak kedua ekor ikan dari permukaan air?
7. Sebuah kapal selam, mula-mula menyelam 120 m di bawah permukaan laut, kemudian kapal bergerak ke bawah sejauh 60 m. Coba nyatakan posisi kapal selam dari permukaan laut dengan penjumlahan bilangan bulat!
8. Pak Agum memiliki usaha penjualan ayam potong di pasar. Pada bulan pertama ia mendapat untung 4 juta, bulan kedua mengalami kerugian sebesar 6 juta. Pada bulan ketiga dan keempat, hasil penjualan Pak Agum mengalami kerugian sebesar 2 juta dan 3 juta.
a. Apakah Pak Agum mengalami untung atau rugi dari hasil penjualan pada bulan pertama dan kedua?
b. Hitunglah total kerugian Pak Agum untuk bulan ketiga dan keempat?
9. Setiap hari Sabtu, Widodo selalu mengikuti kegiatan ekstrakurikuler pramuka yang diadakan di lapangan sekolah. Pada saat latihan baris berbaris diperintahkan dari komandan regu: “Maju 3 langkah”, hal ini berarti jarak pergerakan barisan adalah 3 langkah ke depan. Jika perintah pimpinan pasukan: “Mundur 4 langkah”, hal ini berarti bahwa pasukan akan bergerak melawan arah sejauh 4 langkah, demikian seterusnya. Suatu ketika komanda pasukan memerintahkan Widodo untuk maju 10 langkah, kemudian mundur 8 langkah, dan maju lagi 3 langkah.
a. Nyatakan langkah widodo dalam operasi bilangan bulat.
b. Tentukan posisi terakhir widodo terhadap posisi awal.
10. Dalam suatu kelas terdiri dari 38 siswa, dengan 15 siswa di antaranya adalah perempuan. 13 siswa suka mengendarai sepeda ke sekolah, dan 9 di antaranya adalah perempuan. Tentukan banyak siswa laki-laki yang tidak suka mengendarai sepeda ke sekolah.
11. Dengan memperhatikan susunan bilangan berikut, jika kita melanjutkan hingga baris ke-12, tentukan:
a. Bilangan pertama pada baris ke-12
b. Jumlah dari bilangan-bilangan yang terdapat pada baris ke-12.
12. Pak Manuputi adalah seorang peternak ayam potong dan ayam kampung. Ia memelihara 650 ekor ayam potong dan 135 ekor ayam kampung. Akibat terjangkit flu burung, dalam minggu yang sama terdapat 65 ayam potongdan 45 ayam kampung yang mati.
a. Berapa banyak ayam potong yang masih hidup?
b. Berapa selisih banyak ayam potong dan ayam kampung yang mati?
13. Isilah kotak-kotak pada persegi berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9, sedemikian sehingga jumlah bilangan pada susunan horisontal, vertikal, dan diagonalnya sama. Satu bilangan hanya bisa bisa diisikan satu kali.
14. Isilah lingkaran kosong pada segitiga berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, sedemikian sehingga jumlah bilangan pada setiap sisinya sama. setiap bilangan hanya bisa digunakan sekali.
15. Isilah lingkaran kosong pada segitiga berikut dengan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9 sedemikian sehingga jumlah bilangan pada setiap sisinya sama. setiap bilangan hanya bisa digunakan sekali.
0 Response to "Menjumlahkan dan Mengurangkan Bilangan Bulat"
Post a Comment